电场 · 几何 · 推导

球对称分布：高斯定理

移动高斯面，观察包围电荷、通量、场强和电势如何共同变化。

带电体内高斯面 r / R = 0.75

球对称使电场沿径向，同一个同心球面上场强大小相同。

包围电荷 Q内1.696 nC

径向场强 Eᵣ27.11 N/C

电势 U（U∞ = 0）54.03 V

电通量 Φ191.6 N·m²/C

播放只推进讲解步骤，不代表真实时间演化。

同一模型，四个相互约束的量

\begin{gathered}\Phi_E=\oint\mathbf E\cdot d\mathbf S\\=4\pi r^2E_r=\frac{Q_{\mathrm{in}}(r)}{\varepsilon_0}\quad(r>0)\end{gathered}

\begin{gathered}Q_{\mathrm{in}}=\begin{cases}0,&r\le a\\Q\dfrac{r^3-a^3}{R^3-a^3},&a<r<R\\Q,&r\ge R\end{cases}\\E_r=\frac{kQ_{\mathrm{in}}}{r^2}\quad(r>0)\end{gathered}

空腔内场强为零，但电势通常不为零。厚球层两侧场强连续。

空腔及内边界：r ≤ a

U(r)=\frac{3kQ(R^2-a^2)}{2(R^3-a^3)}

带电区域：a < r < R

U(r)=\frac{kQ\left(3R^2/2-r^2/2-a^3/r\right)}{R^3-a^3}

外边界及外部：r ≥ R

U(r)=\frac{kQ}{r}

场强的正负相对于径向向外。体分布的中心值用连续极限计算；高斯面积为零时不能直接除以 r²。

横轴是无量纲半径 r/R，纵轴给出真实单位与刻度。金色竖线和读数始终对应同一个位置；理想球面的场强跃变处用两个空心点表示左右极限。

1. 空腔没有电荷，电势也一定为零吗？

选择厚球层，先预测，再把高斯面移到球心。Q内、通量与场强为零，但电势一般非零。电势由相对于无穷远的做功定义。

2. 相同总电荷，球外能分辨三种分布吗？

固定 Q、R，在 r/R = 1.5 处切换三种分布。球外 E 和 U 应完全相同，这是球对称性与总电荷共同决定的结果。

3. 把厚球层变薄，边界会发生什么？

逐渐增大 a/R，再切换理想球面。有限厚度的曲线连续，理想球面有场强跃变而电势连续；不要把理想表面处的场强读成零或外侧值。

4. 电荷反号后，哪些量反号？

保持几何尺寸不变，将 Q 反号。包围电荷、通量、场强和电势都反号；零点和区域边界不变。

真空静电模型，SI单位。蓝色表示电荷分布，金色表示观察位置或高斯面，绿色表示有符号电场。箭头表示方向，精确大小请看读数。