电场 · 几何 · 推导

电势曲线：斜率为什么就是电场

移动轴上场点，逐步画出电势、割线和切线。用同一条曲线解释场强、零势参考和电场力做功。

箭头示场方向，大小见读数；虚线是源到场点的距离。

圆环上每一小段到轴上P的距离相同。电势是标量，把k·dq/距离相加即可，不需要投影。

当前位置的电势 U12.71 V

当前位置的电场 Eₓ6.355 N/C

播放只推进讲解步骤，不代表真实时间演化。

先相加电势

U(x)=\int\frac{k\,dq}{\sqrt{x^2+R^2}}+U_{\rm shift}=\frac{kQ}{\sqrt{x^2+R^2}}+U_{\rm shift}

只考察旋转对称轴：横向场相消，因此−dU/dx给出轴线上完整场。图中的曲线是电势随位置的变化，不是粒子的运动路径。

1. U很高，E就一定很大吗？

用默认正圆环，进入第3步并把x设为0。U约17.98 V，但切线水平，所以E=0。向右移动，U下降而E先增大；圆环在x=R/√2处场强最大。

2. 把U整体抬高30V，电场会变吗？

保持场源与x不变，将Ushift从0改为30V。整条曲线升高，切线斜率、E和两点之间的功保持不变。

3. 把面分布切成一圈圈

选择圆环形薄板，R=1m、a/R=0.5、σ=1nC/m²、x=0.5m。U约23.21V，Eₓ约14.68N/C。增大内孔意味着移走正电荷，U和x>0处的E均减小。

原创有限圆环与圆环形薄板模型，真空、均匀静止电荷。紫色表示电势，绿色表示切线与电场，金色标观察点。